อัตราส่วนตรีโกณมิติ
ตั้งกระทู้ใหม่
@@ ความเป็นมา:เมื่อ 640-546 ปี ก่อนครีสต์ศักราช ทาเรส (thales)คำนวณ
หาความสูง ของพีรามิด ในประเทศอียิปต์โดยอาศัยเงา วิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คือ
คำนวณความสูงของพีรามิดจากความยาวของเงาของพีรามิด ในขณะที่เงา
ของเขามีความยาวเท่ากับความสูงของเขาเอง อีกวิธีหนึ่งที่ทาเรสใช้คำนวณ
ความสูงของพีรามิดคือ การเปรียบเทียบความยาวของเงาของพีรามิดกับความ
ยาวของเงาของไม้(ไม้ที่ทราบความยาว ถ้าสมัยนี้ก็คือไม้เมตรนั่นเอง) โดย
อาศัยรูปสามเหลี่ยมคล้าย ซึ่งก็คือ อัตราส่วนตรีโกณมิติที่เรียกว่า แทนเจนต์
(tangent) นั่นเอง
1. สมบัติของสามเหลี่ยมคล้าย
- ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูป มีมุมซึ่งมีขนาดเท่ากันสามคู่แล้ว รูปสาม
เหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน และถ้าสามเหลี่ยมคู่ใดคล้ายกันแล้ว
อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน
จะเท่ากันทั้งสามอัตราส่วนดังนี้.-
รูปที่1 รูปที่ 2
@@ กำหนดให้รูปสามเหลี่ยม ABC และรูปสามเหลี่ยม DEF ข้างบนมี
- BC = EF , AB = DE และ AC = DF
- กำหนดให้ a , b , c , x , y และ z แทนความยาวของด้านของรูป
สามเหลี่ยม จะได้ ABC~DEF
-> ดังนั้น = =
-> หรือ = =
- เรามาเลือกพิจารณาอัตราส่วนของมุมที่มีขนาดเท่ากันคือ
-> มุม A ของ รูปที่1 และมุม D ของ รูปที่2 คือ
-> จาก เราใช้สมบัติอัตราส่วนที่เท่ากันจะได้ az = cx
(โดยการใช้การคูณไขว้)
จะได้ว่า ดูรูปข้างบนประกอบ (ถ้ายังไม่เข้าใจกลับไปดูเรื่องอัตราส่วนที่เท่ากันที่นี่ค่ะ)
- อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ที่อยู่ตรงข้ามกับมุมคู่ที่มีขนาดเท่ากัน
จะเท่ากันทั้งสามอัตราส่วนดังนี้ (ดูรูปข้างบนประกอบไปด้วย)
1 อัตราส่วนมุม A ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม D ในสามเหลี่ยม DEF จะได้.-
->
2. อัตราส่วนมุม B ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม E ในสามเหลี่ยม DEF จะได้.-
->
3. อัตราส่วนมุม E ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม F ในสามเหลี่ยม DEF จะได้.-
->
@@@ จึงสรุปได้ว่า อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่เท่ากัน จะมีค่าเท่ากันเสมอ
แบบฝึก ถ้า PQM เป็นสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง ซึ่งคล้ายกับสามเหลี่ยม ABC ดังรูป
-> กำหนดให้ a , b , c , p , q และ m แทนความยาวของด้านของรูป
สามเหลี่ยมทั้งสอง และมุม A เท่ากับมุม P มุม B เท่ากับมุม Q
มุม C เท่ากับมุม M จะได้ ABC~PQM
-> จงหาว่า , ถูกไหมถ้าไม่ย้อนกลับไปเริ่มต้นใหม่ , ถูกไหมถ้าไม่ย้อนกลับไปเริ่มต้นใหม่ จะเท่ากับ อัตราส่วนใดของสามเหลี่ยม PQM
-> จงหาว่า , ถูกไหมถ้าไม่ย้อนกลับไปเริ่มต้นใหม่ , ถูกไหมถ้าไม่ย้อนกลับไปเริ่มต้นใหม่ จะเท่ากับ อัตราส่วนใดของสามเหลี่ยม PQM
1) อัตราส่วนมุม A ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม P ในสามเหลี่ยม PQM จะได้.-
ได้ =»
ถูกไหมถ้าไม่ย้อนกลับไปเริ่มต้นใหม่
ได้ =»
ถูกไหมถ้าไม่ย้อนกลับไปเริ่มต้นใหม่
2) อัตราส่วนมุม B ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม Q ในสามเหลี่ยม PQM จะได้.-
ได้ =»
3) อัตราส่วนมุม C ในสามเหลี่ยม ABC กับมุม M ในสามเหลี่ยม PQM จะได้.-
ได้ =»
@@- สำหรับระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนต้นนี้จะได้ศึกษาตรีโกณมิติ โดยใช้สาม
เหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น
- ต่อไปจะพิจารณากรณีที่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจากรูปข้างล่างนี้(ซึ่งจะเป็น
กรณีเดียวกับที่กล่าวมาแล้วข้างบนแต่ข้างบนไม่ได้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก)
กรณีเดียวกับที่กล่าวมาแล้วข้างบนแต่ข้างบนไม่ได้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก)
- กำหนดให้ a , b , c , 2a , 2b และ 2c แทนความยาวของด้านของรูป
สามเหลี่ยมทั้งสอง และมุม A เท่ากับมุม X มุม B เท่ากับมุม Y
มุม C เท่ากับมุม Z จะได้ ABC~XYZ
@@ เราจึงสรุปได้ว่า :-
1.อัตราส่วนมุม A= ใน ABC แล้ว อัตราส่วนมุม X = ใน XYZ
-> เพราะฉะนั้นอัตราส่วนมุม X = ใน XYZ(เอา 2 ไปหารทั้งเศษและส่วน)
2. อัตราส่วนมุม A= ใน ABC แล้ว อัตราส่วนมุม X = ในXYZ
-> เพราะฉะนั้น อัตราส่วนมุมX = ใน XYZ(เอา 2 ไปหารทั้งเศษและส่วน)
-> เพราะฉะนั้นอัตราส่วนมุม X = ใน XYZ(เอา 2 ไปหารทั้งเศษและส่วน)
2. อัตราส่วนมุม A= ใน ABC แล้ว อัตราส่วนมุม X = ในXYZ
-> เพราะฉะนั้น อัตราส่วนมุมX = ใน XYZ(เอา 2 ไปหารทั้งเศษและส่วน)
3.อัตราส่วนมุม A= ใน ABC แล้ว อัตราส่วนมุม X = ในXYZ
-> เพราะฉะนั้น อัตราส่วนมุม X = ใน XYZ(เอา 2 ไปหารทั้งเศษและส่วน)
-> เพราะฉะนั้น อัตราส่วนมุม X = ใน XYZ(เอา 2 ไปหารทั้งเศษและส่วน)
@@@ จึงสรุปได้ว่า อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่เท่ากัน จะมีค่าเท่ากันเสมอ
PS. "ใครทำให้เธอต้องมีน้ำตาฉันคนนี่แหละจะไปจัดการเอง...!!"
11 ความคิดเห็น
เอ๋อ...ชั่วขณะ
ERORอีกแล้วครับหลังจากที่เรียนผ่านไปได้เมื่อไม่กี่เดือน T-T
งงอะไม่เก่งเลขอยู่แล้วโอ้ยปวดหัวเวียนเฮดงะ
ของม.ต้น  หนูก็จะตายอยู่แล้ว
ขอบคุณมักค่า  หาตั้งนาน
รอดดแล้ววววว!!!
PS. ........... I - a m - k a e w ............
รายชื่อผู้ถูกใจความเห็นนี้ คน
แจ้งลบความคิดเห็น
คุณต้องการจะลบความคิดเห็นนี้หรือไม่ ?