พาราโบลา

[เสี่ยวลู่วววว]

พาราโบลา ม.3

ใน เนื้อหาพาราโบลา ม.3 นี้ จุดประสงค์หลักหรือสิ่งที่ต้องการให้เกิดกับผู้เรียนหลังจากเรียนจบแล้วคือ

นักเรียนสามารถบอกได้ว่า สมการพาราโบลาที่กำหนดให้นั้น เป็นพาราโบลาคว่ำ หรือว่า พาราโบลาหงาย
นักเรียนสามารถบอกได้ว่า จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาคืออะไร(จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดบางทีอาจจะเรียกว่าจุดยอดก็ได้)
นักเรียนสามารถบอกได้ว่าแกนสมมาตร คือ แกนอะไรหรือว่าเส้นตรงอะไรเป็นแกนสมมาตร
นักเรียนสามารถวาดกราฟของพาราโบลาได้
มาต่อกันเลยครับ

พาราโบลา มันมีสมการประจำตัวของมันคือ

y=ax^{2}+bx+c นี้คือสมการพาราโบลา คือถ้านำสมการนี้ไปพลอตกราฟก็จะได้กราฟเป็นเส้นโค้งคับ

แต่สมการนี้ มันบอกอะไรเราไม่ได้เลย คือบอกไม่ได้ว่ามันเป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย จุดสูงสุด จุดต่ำสุดอยู่ที่ไหน บอกไม่ได้เลย เขาจึงจัดรูปสมการนี้ใหม่คือ จัดให้อยู่ในรูปแบบของ

y=a(x-h)^{2}+k

โดยถัาจัดให้อยู่ในรูปนี้แล้วจะบอกได้เลยว่า เป็นพาราโบลาคว่ำหรือพาราโบลาหงาย บอกจุดต่ำสุดและจุดสูงสุดได้ บอกแกนสมมาตรได้ด้วย อ่านมาถึงตรงนี้หลายคนคงเกิดคำถามขึ้นมาในใจ แล้วดูยังไงหล่ะ ว่าคว่ำหรือหงาย จุดต่ำสุด จุดสูงสุด อยู่ที่ไหน เราไปดูกันเลยคับว่าดูยังไง

ค่า a เป็นค่าที่บ่งบอกว่า พาราโบลานั้นเป็นพาราโบลา คว่ำหรือว่าหงาย คับ

ถ้า a>0 คือเป็นจำนวนจริงบวก พาราโบลานั้นเป็นพาราโบลาหงายคับ เช่น y=4(x-3)^{2}+2 ค่า a=4 เป็นพาราโบลาหงาย

ถ้า a<0 คือเป็นจำนวนจริงลบ พาราโบลานั้นเป็นพาราโบหลายคว่ำคับ เช่น y=-4(x-3)^{2}+2 ค่า a=-4 เป็นพาราโบลาคว่ำ แน่นอน

หลายคนคงไม่คำถามเกิดขึ้นในใจว่า แล้วถ้า a=0 หล่ะ มันจะเป็นพาราโบลาอะไร คำตอบคือ มันไม่เป็นพาราโบลาคับ มันจะไม่ใช่เส้นโค้งแล้ว แล้วมันจะเป็นเส้นอะไร ไม่บอก ฝากให้ไปคิดคับ

ค่า h กับ ค่า k เป็นค่าที่บอกว่าจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลาอยู่ในตำแหน่งหรือพิกัดอะไร

ยกตัวอย่างเช่น พาราโบลา ที่มีสมการ y=2(x-3)^{2}+5 จากสมการพาราโบลานี้ ค่า a=2 ค่า h=3 และค่า k=5 ดังนั้นพาราโบลานี้เป็นพาราโบลาหงาย มีจุดต่ำสุดอยู่ที่ตำแหน่งหรือพิกัด (3,5)

(-จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของพาราโบลานั้นมีชื่อเรียกหลายชื่อมากคับ รู้สึกใน ม.3 นี้จะเรียกว่าจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุด แล้วแต่พาราโบลา ถ้าพาราโบลาหงายก็จะเรียกจุดนี้ว่าจุดต่ำสุด แต่ถ้าเป็นพาราโบลาคว่ำจะเรียกจุดนี้ว่าจุดสูงสุด แต่ถ้าใน ม.4 จะเรียกจุดนี้ว่า จุดยอดหรือจุดวกกลับ คับ )

ส่วนวิธีการดูแกนสมมาตร ก็ไม่ยากคับ ให้ดูที่ค่าของ h คับ เช่นจากสมการพาราโบลาที่ยกตัวอย่างให้ดูข้างบนเมื่่อกี้ h=3 แสดงว่าแกนสมมาตรคือ เส้นตรง x=3

แต่ถ้าสมการของพาราโบลา เป็นแบบนี้ y=-3(x-2)^{2}+5 จะเห็นว่าค่า ของ h=2 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลา นี้คือ เส้นตรง x=2 คับ

ถ้า y=5(x-9)^{2}+1 จะเห็นว่าค่าของ h=9 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลา นี้คือ เส้นตรง x=9

ถ้า y=5(x+9)^{2}+1 จเห็นว่าค่าของ h=-9 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลา คือ เส้นตรง x=-9

ถ้า y=10(x-12)^{2}+14จะเห็นว่าค่าของ h=12 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลานี้ คือ เส้นตรง x=12

ถ้า y=10(x+12)^{2}+14 จะเห็นว่าค่าของ h=-12 ดังนั้นแกนสมมาตรของพาราโบลานี้คือ เส้นตรง x=-12

ต่อไปนี้ผมขอยกตัวอย่าง การทำแบบฝึกหัดเกี่ยวกับเรื่องพาราโบลา ให้ดูน่ะคับ ขอให้ทุกคนตั้งอ่านน่ะคับ ถ้าเข้าใจหลักการมันแล้วไม่ยากคับ ง่ายจริงๆ คับ เริ่มกันเลย

1.จงพิจารณาสมการ y=2x^{2}-4x+5 แล้วตอบคำถามต่อไปนี้

1) กราฟเป็นพาราโบลา คว่ำหรือพาราโบลาหงาย

2) จุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดของกราฟเป็นจุดใด

3) เส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร

เริ่มทำกันเลยคับ

จากสมการพาราโบลา คือ y=2x^{2}-4x+5 จัดสมการนี้ให้อยู่ในรูปของ y=a(x-h)^{2}+k

จาก

y=2x^{2}-4x+5

y=(2x^{2}-4x)+5 จุดกลุ่มแล้วดึงตัวร่วม ตัวแปรไม่ต้องดึงออกน่ะ

y=2(x^{2}-2x)+5

y=2(x^{2}-2x(1)+1^{2}-1^{2})+5 ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์จ๊ะ บรรทัดนี้ อ่านดีๆน่ะ เขียนอธิบายยากต้องค่อยๆอ่าน

y=2(x^{2}-2x(1)+1^{2})-2(1)^{2}+5

y=2(x-1)^{2}-2+5

y=2(x-1)^{2}+3 นำสมการที่ได้นี้ไปเที่ยบกับสมการ y=a(x-h)^{2}+k จะได้ว่า

a=2 ซึ่ง ค่า a เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น พาราโบลานี้เป็นพาราโบลา หงาย

h=1,k=3 ดังนั้นพาราโบลานี้มีจุดต่ำสดุอยู่ที่พิกัด (1,3) มันเป็นพาราโบลาหงายน่ะไม่มีจุดสูงสุดมีเฉพาะจุดต่ำสุดน่ะ

เนื่องจาก h=1 ดังนั้น เส้นตรง x=1 เป็นแกนสมมาตร



ที่ผมยกตัวอย่างไปข้างบนอาจจะยากไปสำหรับหลายๆคน ถ้าอ่านแล้วยังไม่เข้าใจ ลองอ่านนี่ดูน่ะคับจะพยายามเขียนน่ะ

สมการพาราโบลาคือสมการที่อยู่ในรูปของ y=ax^{2}+bx+c และเขานำสมการนี้แหล่ะมาจัดรูปใหม่ให้อยู่ในรูปของ y=a(x-h)^{2}+k จัดให้อยู่ในรูปนี้เพราะจะง่ายต่อการดูว่า พาราโบลามันหงายหรือคว่ำ จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่จุดใด แกนสมมาตรคือเส้นตรงอะไร

โดยที่

ค่าของ a จะเป็นตัวที่บอกว่าพาราโบลานั้นเป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย คือ

ถ้า a เป็นจำนวนบวก พาราโบลานั้นจะเป็นพาราโบลาหงาย

แต่ถ้า a เป็นจำนวนลบ พาราโบลานั้นจะเป็นพาราโบลาคว่ำ

ส่วน คู่อันดับ (h,k) เป็นค่าที่บอกว่าพาราโบลานั้นมีจุดต่ำสุดหรือจุดสูงสุดอยู่ที่จุดไหน

เช่น y=4(x-3)^{2}+6 ค่า a=4 แสดงว่าเป็นพาราโบลาหงาย ค่า h=3 และค่า k=6 ดั้งนั้นพาราโบลานี้มีจุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (3,6) คับ

ค่าของ h เป็นตัวที่บอกว่าแกนสมมาตรคือเส้นตรงอะไร

เช่นจากตัวอย่างข้างต้น ค่า h=3 แสดงว่าแกนสมมาตรคือเส้นตรง x=3

มาดูตัวอย่างกันคับ

1. จากสมการพาราโบลาที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ จงตอบคำถามต่อไปนี้

เป็นพาราโบลาคว่ำหรือหงาย
จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดอยู่ที่จุดใด
แกนสมมาตรคือเส้นตรงอะไร
1.1 y=2(x-1)^{2}+3

วิธีทำ จากโจทย์ y=2(x-1)^{2}+3

นำสมการจากโจทย์มาเปรียบเทียบกับสมการ y=a(x-h)^{2}+k จะได้ว่า

a=2 (เป็นจำนวนบวก) ,h=1,k=3 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาหงาย

มีจุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (1,3)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=1

1.2y=-3(x-4)^{2}+8

วิธีทำ จากโจทย์ y=-3(x-4)^{2}+8

นำสมการจากโจทย์มาเปรียบเทียบกับสมการ y=a(x-h)^{2}+k จะได้ว่า

a=-3 (เป็นจำนวนลบ) ,h=4,k=8 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาคว่ำ

มีจุดสูงสุดอยู่ที่จุด (4,8)

แกนสมมาตรคือ เส้นตรง x=4

1.3 y=-9(x+3)^{2}-4

วิธีทำ จากโจทย์ y=-9(x+3)^{2}-4 สังเกตให้ดีๆน่ะโจทย์ข้อนี้มันยังไม่อยู่ในรูปแบบของ y=a(x-h)^{2}+k เพราะว่าหลังตัว x ต้องเป็นเครืองหมายลบ และ ข้างหน้า ตัว k ต้องเป็นเครืองหมายบวก ดังนั้นเราต้องจัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ

y=a(x-h)^{2}+k

จากy=-9(x+3)^{2}-4 จัดรูปใหม่

y=-9(x-(-3))^{2}+(-4) ดังนั้นเราจึงได้ว่า a=-9 ,h=-3 , k=-4

เป็นพาราโบลาคว่ำ

มีสูงสุดอยู่ที่จุด(-3,-4)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-3

1.4 y=3x^{2}

วิธีทำ จากโจทย์คือ y=3x^{2} จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ y=a(x-h)^{2}+k จะได้

y=a(x-h)^{2}+k

y=3x^{2}

y=3(x-0)^{2}+0 ลองเทียบกับสมการy=a(x-h)^{2}+kจะได้ a=3 ,h=0 ,k=0 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาหงาย

จุดต่ำสุดอยู่ที่จุด (0,0)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=0 หรือ แกน Y นั่นเอง

1.5 y=-\frac{2}{3}x^{2}

วิธีทำ จากโจทย์คือ y=-\frac{2}{3}x^{2} จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของy=a(x-h)^{2}+k จะได้

y=a(x-h)^{2}+k

y=-\frac{2}{3}x^{2}

y=-\frac{2}{3}(x-0)^{2}+0 ลองเที่ยบกับสมการ y=a(x-h)^{2}+k จะได้ a=-\frac{2}{3} ,h=0 ,k=0 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาคว่ำ

จุดสูงสุดอยู่ที่ (0,0)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=0 หรือ แกน Y นั่นเอง

1.6 y=(x-3)^{2}

วิธีทำ จากโจทย์คือ y=(x-3)^{2} จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ y=a(x-h)^{2}+k จะได้

y=a(x-h)^{2}+k

y=(x-3)^{2}

y=(x-3)^{2}+0 ลองเทียบกับสมการ y=a(x-h)^{2}+k จะได้ a=1,h=3,k=0 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาหงาย

จุดต่ำสุดคือจุด (3,0)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=3

1.7 y=-6(x-3)^{2}

วิธีทำ จากโจทย์คือ y=-6(x-3)^{2} จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ y=a(x-h)^{2}+kจะได้

y=a(x-h)^{2}+k

y=-6(x-3)^{2}+k

y=-6(x-3)^{2}+0 ลองเที่บบกับสมการ y=a(x-h)^{2}+k จะได้ a=-6 ,h=3,k=0 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาคว่ำ

จุดสูงสุดอยู่ที่จุด (3,0)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=3

1.8 y=12(x+5)^{2}

วิธีทำ จากโจทย์คือ y=12(x+5)^{2} จัดสมการใหม่ให้อยู่ในรูปของ y=a(x-h)^{2}+kจะได้

y=a(x-h)^{2}+k

y=12(x+5)^{2}

y=12(x-(-5))^{2}+0 ลองเทียบกับสมการ y=a(x-h)^{2}+k จะได้ a=12,h=-5,k=0 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาหงาย

มีจุดต่ำสุดที่จุด(-5,0)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-5

1.9 y=x^{2}+6x+8

วิธีทำ จากโจทย์ y=x^{2}+6x+8 จะเห็นว่า สมการพาราโบลาข้อนี้อยู่ในรูปของสมการ y=ax^{2}+bx+c ดังนั้นเราต้องจัดสมการให้อยู่ในรูปของ y=a(x-h)^{2}+k ก่อน

จาก y=x^{2}+6x+8

y=(x^{2}+2x(3)+3^{2}-(3)^{2})+8

y=(x+3)^{2}-(3)^{2}+8

y=(x+3)^{2}-1

y=(x-(-3))^{2}+(-1) ลองเทียบกับสมการนี้คับ y=a(x-h)^{2}+k จะได้ว่า

a=1,h=-3,k=-1 จึงได้ว่า

เป็นพาราโบลาหงาย

จุดต่ำสุดอยู่ที่จุด(-3,-1)

แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=-3

ค่าต่ำสุดคือ y=-1